Gains des trois joueurs après plusieurs parties de jeu

Présentation

Le problème

Trois amis se retrouvent régulièrement pour s'affronter à leurs jeux préférés. Aujourd'hui, le premier a gagné A = 31 points, le second B = 22 points et le troisième C = 10 points.
Pouvez-vous dire le nombre de parties jouées ? Ainsi que le détail des gains des joueurs lors des différentes parties

Précisions
lors de chaque partie, le premier de la partie gagne a points, le second gagne b points et le troisième c points,
les trois types de gains a, b, c ne changent pas d'une partie à l'autre et a > b > c,
il n'y a pas d'ex æquo, les trois nombres a, b, c sont bien tous différents,
Les joueurs additionnent leurs gains aux différentes parties, ce n'est qu'à la fin de toutes les parties que les totaux des gains sont A, B et C.

Calculs de solutions

Vous obtiendrez la solution lorsqu'il en existe une et aussi toutes les autres solutions lorsqu'il y en plus d'une.

Placez les valeurs de A, B et C de votre choix puis cliquez sur le bouton [Calcule] pour obtenir les solutions.

Résolution

Équations

Les trois données sont $\displaystyle A > 0, B> 0, C> 0$.
Les treize inconnues sont $\displaystyle a > b > c > 0$, $\displaystyle x_1,y_1,z_1, x_2, y_2, z_2, x_3, y_3, z_3, n> 0$,.
Tous ces nombres sont des entiers positifs, certains sont strictement positifs

Les dix équations sont

$n = \frac {A+B+C}{a+b+c}$

$\displaystyle 1) \left \{ \begin{matrix} x_1 a + y_1 b + z_1 c & = & A \\ x_2 a + y_2 b + z_2 c &=& B \\ x_3 a + y_3 b + z_3 c &=& C \end{matrix}\right .$

$\displaystyle 2) \left \{ \begin{matrix} x_1+x_2+x_3 &=& n\\ y_1+y_2+y_3&=&n\\z_1+z_2+z_3&=&n\end{matrix}\right .$

$\displaystyle 3) \left \{ \begin{matrix} x_1+y_1+z_1 &=& n\\ x_2+y_2+z_2&=&n\\x_3+y_3+z_3&=&n\end{matrix}\right .$

Explications

La somme des points de toutes les parties est $S=A+B+C$.
La somme des points d'une partie est $s=a+b+c$ on en déduit que $s$ est un diviseur entier de $S$.
On a donc $S=n\times s$ et $n$ est le nombre de parties : $\displaystyle n = \frac {A+B+C}{a+b+c} = \frac S s$.

$x_1$, $y_1$, $z_1$ sont les nombres de fois que le premier joueur a été premier, deuxième ou troisième dans une partie.
De même $x_2, y_2, z_2$ correspondent au deuxième joueur et $x_3, y_3, z_3$ au troisième joueur.

Le problème posé implique que $x_1+x_2+x_3 = y_1+y_2+y_3=z_1+z_2+z_3=n$ (le nombre de parties).

Résolution

Comme $A, B, C$ sont les données et que $A+B+C = n(a+b+c)$, on décompose la résolution en faisant parcourir à $n$ l'ensemble des diviseurs de $S=A+B+C$.
(On remarque que dans le même temps, $s=a+b+c$ parcourt l'ensemble des diviseurs de $S=A+B+C$). De plus $a>b>c>0$ entraîne $a+b+c\geq 6$ et donc $\displaystyle n \leq \frac{A+B+C} 6$.
$n=1$ correspond à la solution triviale $a=A$, $b=B$, $c=C$, (sauf si $A, B, C$ ne sont pas tous différents).
Pour tout autre valeur de $n$, on calcule la valeur correspondante $\displaystyle s=a+b+c=\frac {A+B+C} n$ et on essaie de combiner les décompositions de $s$ en somme de trois nombres $a,b,c$ ainsi que les décompositions de $n$ en $x_1, x_2, x_3$, en $y_1, y_2, y_3$ et $z_1,z_2,z_3$. afin que toutes les contraintes soient vérifiées.

La matrice $$\displaystyle M = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{bmatrix}$$ a la particularité d'avoir la même somme $n$ sur routes ses lignes et ses colonnes. Une manière de résoudre le problème consiste à déterminer pour chaque diviseur $n$ de $A+B+C$, les matrices $M$ de même somme $n$ sur les lignes et les colonnes. Les solutions sont les solutions entières $\displaystyle \begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix}$ de l'équation $\displaystyle M \begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A \\ B\\ C \end{bmatrix}$.

Lorsque $M$ est régulière, la solution est $\displaystyle \begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix}= M^-1 \begin{bmatrix} A \\ B\\ C \end{bmatrix}$, à condition qu'elle soit entière.

Exemple

$A=31$, $B=22$, $C=10$ ont pour somme $S=63$ dont l'un des diviseurs est $n=3$, on peut construire la matrice $\displaystyle M = \begin{bmatrix} 2&0&1\\ 1&2&0\\ 0&1&2\end{bmatrix}$ de déterminant $D=9$ et de matrice inverse $\displaysatyle M^{-1} = \frac 1 9 \begin{bmatrix}4 & 1 &-2\\ -2& 4 &1 \\ 1& -2 &4 \end{bmatrix}$. En calculant $\displaysatyle M^{-1}\begin{bmatrix} 31 \\ 22\\ 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 \\ 4\\ 3 \end{bmatrix}$ on obtient une solution : $a=14, b=4, c=3$.
(Remarque : si on avait permuté les lignes ou les colonnes de la matrice $M$, on aurait parfois obtenu une solution avec les mêmes trois valeurs $3, 4, 14$ dans un ordre ou un autre, il aurait alors suffi de les réordonner et de modifier $M$ en conséquence. L'astuce est de ne pas permuter $M$ ni $M^{-1}$ et de tester les six permutations de $A, B, C$).

Exercices

1) $A=38, B=34, C=8$ ont pour somme $80$ dont les diviseurs $n=2$, $n=4$, $n=5$ et $n=8$ vous donnerons une ou plusieurs solutions (7 solutions en tout). Déterminez des matrices $M$ inversibles possibles, (dont les lignes et les colonnes ont pour somme $n$), puis testez-les.

2) $A=98, B=52, C=19$ a une solution unique (en dehors de la solution triviale). Le nombre $n$ de parties et la somme $a+b+c$ sont évidents, saurez-vous trouver la solution ?

Algorithme

C'est l'algorithme utilisé pour écrire l'application javascript du paragraphe "Calculs de solutions" de cette page.

Pour tous les choix possibles de $a$, $b$, $c$ vérifiant $a > b > c > 0$ et tels que $a+b+c$ soit un diviseur strict de $A+B+C$

On calcule $\displaystyle n = \frac{A+B+C}{a+b+c}$

Pour tous les choix possibles de $\displaystyle x_3$, $\displaystyle y_3$, $\displaystyle z_3$ entiers positifs tels que $x_3+y_3+z_3 = n$ et $x_3\, a + y_3\, b+ z_3\, c = C$

Pour tous les choix de $x_2$, $y_2$, $z_2$ tels que $x_2+y_2+z_2 = n$ et $x_2\, a+y_2\, b+z_2\, c = B$

On calcule $x_1 = n-(x_2+x_3)$, $y_1=n-(y_2+y_3)$, $z_1=n-(z_2+z_3)$

Si $x_1$, $y_1$, $z_1$ sont positifs ou nuls et si $x_1\, a+y_1\, b+z_1\, c = A$, on affiche la solution