Différentiation automatique

Lorsque vous codez en C, C++, java, javascript... une fonction mathématique $f(x)$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, vous appelez dans votre programme cette fonction en plusieurs valeurs numériques, par exemple $x_0=0$, $x_1 = 1$, $x_2=2$ et vous obtenez $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$...
Sans modifier vous-même l'écriture de la fonction, grace à la dérivation automatique, vous obtiendrez en plus de $f(x)$, la valeur de la dérivée $f^{(1)}(x)$ et peut-être même la dérivée seconde (comme dans l'application de cette page) et éventuellement d'autres encore .

Le tableau ci-dessous rassemble quelques formules de dérivation parmi les plus courantes.
Les ensembles de définition et les conditions d'existence ne sont pas indiquées, ainsi par exemple la formule de dérivation donnée pour $ \frac u v $ est utilisable au point $ x_0 $ lorsque $ u $ et $v $ sont définies et dérivables en $ x_0 $ et $ v(x_0) not= 0 $.

FONCTION	Fonctions $u$, $v \ldots$	Dérivées premières $u$', $v$'$ \ldots$	Dérivées secondes $u$'', $v$''$ \ldots$
Constante $C$	$C$	$0$	$0$
Identité	$ x $	$ 1 $	$ 0 $
Somme	$ u+v $	$ u^\prime + v^\prime $	$ u^{\prime\prime} + v^{\prime\prime} $
Produit par la constante $k$	$ k u $	$ k u^\prime $	$ k u^{\prime\prime} $
Opposée	$ -u $	$ -u^\prime $	$ -u^{\prime\prime} $
Produit de deux fonctions	$ u v $	$ u^\prime v + u v^\prime $	$ u^{\prime\prime} v + 2 u^\prime v^\prime + u v^{\prime\prime} $
Puissance n	$ u^n $	$ n u^{n-1} u^\prime $	$ n(n-1) u^{n-2} u^\prime^2 + n u^{n-1} u^{\prime\prime} $
Inverse	$ \displaystyle \frac 1 u $	$ \frac {- u^\prime}{ u^2 } $	$ \displaystyle \frac{u u^{\prime\prime} - u^\prime^2}{u^2} $
Quotient de deux fonctions	$ \displaystyle \frac u v $	$ \displaystyle \frac {u^\prime v - v^\prime u}{v^2} $	$ \displaystyle \frac {u u^{\prime\prime}v -2 u u^\prime v^\prime-u^2 v + 2 u v^\prime^2}{v^3}$
Composition de deux fonctions	$ u\circ v $	$ (u^\prime \circ v) \times v^\prime $	$ (u^{\prime\prime}\circ v) \times v^\prime^2 + (u^\prime \circ v) \times v^{\prime\prime} $
Sinus	$ \sin(u) $	$ u^\prime \cos u $	$ u^{\prime\prime} \cos u - u^\prime^2 \sin u $
Cosinus	$ \cos u $	$ - u^\prime \sin u $	$ -u^{\prime\prime} \sin u - u^\prime^2 \cos u $
Logarithme népérien	$ \log |u| $	$ \frac {u^\prime}{u} $	$ \frac { u u^{\prime\prime} - u^\prime^2 }{ u^2 } $
Exponentielle népérienne	$ e^u = \exp u $	$ u^\prime e^u $	$ (u^\prime^2 + u^{\prime\prime}) e^u $

Inspirez-vous des exemples donnés.
Commencez par var X = Auto(x) et chaque fois que vous aurez à nouveau besoin de x, changez de nom en prenant X1=Auto(x) ou X2 ...
Une constante k est : var K = Const(k)
X.kmul(2) multiplie par la constante 2, de même X.kadd(-5) additionne -5 ou encore .kdiv(2) pour diviser par 2

X.cos() donne le cosinus de X, les autres méthodes sont sin(), sqrt(), puissance(n), exp(), log(), inverse()

les opérations sont add, mul, divise,
par exemple X.add(X1, X2, X3) pertmet d'obtenir en X la somme de X, X1, X2 et X3

Vous pouvez utiliser les fonctions javascript, mais uniquement pour obtenir des constantes : var E = Const(Math.exp(1))

Fragment du code javascript utilisé :

function Auto(x) {                                      
        return new AUTO(x)                        
}

var AUTO = function(x){
        this.x = x;     // toute première valeur x
        this.a = x;     // f(x)
        this.b = 1;     // f'(x)
        this.c = 0;     // f''(x)
...
        this.cos = function() {
                var a0 = Math.cos(this.a);    // le cosinus
                var b0 = - this.b * Math.sin(this.a); 
                var c0 = - this.c * Math.sin(this.a) 
                                  - this.b * this.b * a0 ;
                this.a = a0;  // la valeur de la fonction
                this.b = b0;  // la dérivée première
                this.c = c0;  // la dérivée seconde
        }
...
}

Fonction :

$3x^2$

  

function mafonction(x) { var X = Auto(x); // x X.puissance(2); // x^2 X.kmul(3); // 3 * x^2 return X; }

Valeurs de x :