Polynômes cyclotomiques de F_p[X]

$p$ désigne un nombre premier $p\in\{2, 3, 5, 7, \cdots\}$.
$n$ est un entier naturel non nul, $n\in \{1, 2, 3, 4, \cdots\}$, $q = p^n$ est une puissance de $p$.

$\displaystyle ({\bbmath Z}/_{a\bbmath Z}, +, \times)$ est l'anneau des classes d'entiers modulo $a\geq 2$. Lorsque $a$ est un nombre premier $a=p$, l'anneau $\bbmath Z/_{p \bbmath Z}$ est un corps.

$F_p$ est le corps fini à $p$ éléments $({\bbmath Z}/_{p\bbmath Z}, +, \times)$ des entiers modulo le nombre premier $p$,
$Z[X]$ est l'anneau des polynômes à coefficients entiers, $F_p[X]$ est l'anneau des polynômes à coefficients dans $F_p$,
$F_q = F_{p^n}$ est le corps fini à $p^n$ éléments, (à un isomorphisme près car tous ces corps à $p^n$ éléments sont isomorphes).
$F_q^\star$ est le groupe multiplicatif du corps $F_q$, il a $q-1 = p^n -1 $ éléments et est cyclique. Pour tout $a\in F_q^\star$, $\displaystyle a^q = a$.

Un élément primitif $\theta$ de $F_q^\star$ est un élément tel que pour tout diviseur strict $d$ de $q-1$, $\theta^d \not= 1$.
$\Phi_{r}(x)$ est le r-ième polynôme cyclotomique, $\displaystyle\Phi_r(x) = (x^r-1)/ {\rm pgcd}\left(x^r - 1, \prod_{d|r ; 1\le d < r}\ (x^d-1)\right)$. On a aussi $\displaystyle x^r - 1 = \prod_{d|r} \Phi_{r}(d)$. Pour tout $p$ premier, $\displaystyle\Phi_p(x)=1+x+\cdots+x^{p-1}$.
$\phi(r)$ est le r-ième nombre cyclotomique, il est le degré du polynôme $\displaystyle\Phi_r(x)$. Pour tout $p$ premier, $\phi(p)= p$.
Le groupe multiplicatif $F_q^\star$ est cyclique, de cardinal $q-1$, le nombre d'éléments générateurs est $\phi(q-1)$ générateurs.