/ Accueil / Arithmétique / Fractions égyptiennes
Fractions égyptiennes
Les mathématiques égyptiennes
Ahmès
Papyrus Rhind
La principale source de connaissances que l'on a sur les mathématiques égyptiennes est un papyrus écrit 1650 ans environ avant J-C par le scribe Ahmès.
Déroulé, le papyrus mesure environ 6 mètres de long sur 30 cm de large.
Ce papyrus est la copie d'un document plus ancien de plusieurs siècles. Il a été acheté à Louxor en 1858 par l'égyptologue écossais Henry Rhind. Actuellement il est conservé au British Museum de Londres
Le papyrus Rhind nous donne des indications sur la multiplication, la division et l'utilisation des fractions.
Les égyptiens utilisaient uniquement,à l'exception de la fraction 2/3, les fractions
de la forme 1/n et les sommes 1/a+1/b+... de deux ou de plusieurs fractions de
dénominateurs a, b, ... tous différents différents.
Les doubles 2/n = 1/n+1/n ou les multiples 1/n+1/n+1/n+... étaient systématiquement remplacés par des sommes de dénominateurs différents.
Le papyrus d'Ahmès contient des tables de décompositions des premières fractions 1/n et 2/n avec parfois des erreurs comme dans
Déroulé, le papyrus mesure environ 6 mètres de long sur 30 cm de large.
Ce papyrus est la copie d'un document plus ancien de plusieurs siècles. Il a été acheté à Louxor en 1858 par l'égyptologue écossais Henry Rhind. Actuellement il est conservé au British Museum de Londres
Le papyrus Rhind nous donne des indications sur la multiplication, la division et l'utilisation des fractions.
| 1/5 | a pour double | 1/3 + 1/15 |
| 1/7 | 1/4 + 1/28 | |
| 1/9 | 1/6 + 1/18 | |
1/15| | 1/10 + 1/30 | |
Les doubles 2/n = 1/n+1/n ou les multiples 1/n+1/n+1/n+... étaient systématiquement remplacés par des sommes de dénominateurs différents.
Le papyrus d'Ahmès contient des tables de décompositions des premières fractions 1/n et 2/n avec parfois des erreurs comme dans
1/11 = 1/(12)+1/33+1/66 de valeur exacte 1/11=1/(22)+1/33+1/66.
Calculs des doubles des fractions égyptiennes
On peut comparer la table du papyrus d'Ahmès à l'algorithme glouton de Fibonacci-Sylvester pour lequel
Essayer aussi la petite application ci-dessous qui donne selon le cas une ou plusieurs solutions.
2/(2p+1) = 1/(p+1) + 1/(p(2p+1))
Essayer aussi la petite application ci-dessous qui donne selon le cas une ou plusieurs solutions.
L'algorithme glouton de Fibonacci-Sylvester
Son histoire
Dans son livre Liber abaci paru en 1202, Léonard de Pise (Fibonacci) donne sans démonstration un algorithme qui permet d'obtenir une décomposition de toute fraction en une somme de fractions égyptiennes.
La méthode a été redécouverte en 1880 par James Sylvester qui a démontré que l'algorithme donne bien une décomposition en un nombre fini de fractions.
La démonstration est très simple : En calculant a/b = 1/n + ... par cet algorithme (voir ci-dessous), on a soit l'arrêt avec 1/n=a/b, soit 1/n < a/b <1/(n+1) et on calcule a/b-1/n= (na-b)/(nb)
La méthode a été redécouverte en 1880 par James Sylvester qui a démontré que l'algorithme donne bien une décomposition en un nombre fini de fractions.
La démonstration est très simple : En calculant a/b = 1/n + ... par cet algorithme (voir ci-dessous), on a soit l'arrêt avec 1/n=a/b, soit 1/n < a/b <1/(n+1) et on calcule a/b-1/n= (na-b)/(nb)
Méthode
Un algorithme très simple.
On veut décomposer la fraction a/b < 1 que l'on note a(0)/b(0),
Pour k = 0, 1, ...
Soit n(k) le plus petit entier tel que
1/n(k) soit inférieur ou égal à a(k)/b(k)
on prendra à l'étape suivante a(k+1)/b(k+1) = a(k)/b(k) - 1/n(k)
c.-à-d. a(k+1) = a(k)*n(k) - b(k)
b(k+1) = b(k) * n(k);
L'algorithme débute en prenant k=0 et s'arrête lorsque a(k) est nul.
a/b = 1/n(0) + 1/n(1) + ...
Preuve (Simplifions la notation dans la preuve en omettant d'écrire la variable k) :
------
On a 1/n <= a/b < 1/(n-1) et à l'étape suivante, s'il doit y en avoir une,
a/b est remplacé par (an-b)/(bn).
Le numérateur an-b est strictement inférieur au précédent 'a' car leur différence
a - (an-b) = a-an+b est strictement positive, en effet l'inégalité stricte a/b < 1/(n-1)
donne a(n-1)<b c'est-à-dire 0< b-an+a.
Exemples
Grands entiers souvent nécessaires
Un programme fractions égyptiennes de Fibonacci (fef.bc) écrit dans le langage bc et utilisant des grands entiers.
aven:~/egy\> echo "5 121"|bc fef.bc
5/121= + 1/25 + 1/757 + 1/763309 + 1/873960180913 + 1/15276127956420\
93418846225
L'algorithme donne parfois des solutions curieuses, (comparer cette solution à
5/121= 1/363+1/121+1/33),
les entiers obtenus sont vite impressionnants.
Exemples simples
Le bouton [Variante] permet de décomposer les fractions 1/n autrement qu'en elles-mêmes.
1/n = 1/(n+1) + 1/(n(n+1))
Exemples : Doubles, Triples, Quadruples, Quintuples (Comparer 5/31= 1/248+1/31+1/8 à la solution obtenue).
D'autres solutions
Exemples :
Des décompositions particulières où l'on trouve deux quadruplets dont les sommes sont égales ainsi que les sommes de leurs inverses :
1/77+1/33+1/21+1/11 = 1/55+1/45+1/33+1/9 = 2/11 et 77+33+21+11 = 55+45+33+9 = 142
1/165+1/55+1/15+1/11 = 1/99+1/77+1/63+1/7 = 2/11 et 165+55+15+11 = 99+77+63+17 = 246
Plusieurs obervations semblables dans cet autre exemple.
Ce programme C permet des calculs un peu plus rapides :
optpair.c
Somme égale à 1
Nombres égyptiens
Définition :
Les nombres entiers naturels 'égyptiens' sont les sommes des dénominateurs des décompositions de 1 en sommes de fractions égyptiennes.
Ils sont dits strictement égyptiens si les fractions égyptiennes sont toutes différentes.
La suite A052428 est celle des nombres égyptiens stricts, son complément est A051882
La suite A028229 donne les entiers qui ne sont pas égyptiens.
Exemples :
1 = 1/2+1/2 mais comme 4=1+3=2+2 et qu'aucun des entiers 1/4 et 1/1+1/3 ne vaut 1, on peut dire que 4 est un nombre égyptien et qu'il n'est pas strictement égyptien.
1 = 1/231 + 1/210 + 1/15 + 1/11 + 1/3 + 1/2 donc 472 = 231 + 210 + 15 + 11 + 3 + 2 est un nombre entier égyptien strict.
Exemple montrant que 31, 24, 11 et 1 sont des nombres égyptiens stricts. Cet autre exemple en donne un peu plus.
Inverses d'impairs
Les décompositions de 1 par le plus petit nombre possible de fractions égyptiennes de dénominateurs impairs a été trouvée en 1976 par S. Yamashita.
Le nombre de fractions est 9 et les solutions sont au nombre de 5,
en voici deux :
1 = 1/231 + 1/45 + 1/35 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3
1 = 1/385 + 1/45 + 1/33 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3
On indique ci-dessous comment trouver ces deux solutions et quelques autres.
en sachant que les neuf solutions contiennent en commun les six termes
1/15 1/11 1/9 1/7 1/5 1/3 on peut en déduire la somme
des trois termes restants qui est donc (cliquer) 573/10395.
Il suffit alors d'ajouter 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3 aux trois solutions que l'on vient de calculer en cliquant pour obtenir trois décompositions de 1 en une somme de neuf fractions égyptiennes de dénominateurs impairs.
Pour obtenir d'autres solutions on peut tenter d'augmenter le dénominateur maximum.
On peut aussi choisir de décomposer 26/3465 complément à 1 de 1/21 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3.
Problèmes d'héritages
Exemple
Énoncé
À son décès, un fermier lègue par testament ses 7 moutons à ses trois enfants.
Selon sa volonté, la moitié des animaux doit aller à l'aîné, le quart au cadet et le huitième au benjamin.
Comment réaliser ce partage ?
Solution
En remarquant que 7/8= 1/8+1/4+1/2 = 1/8 + 2/8 + 4/8, un ami de la famille trouve une solution, il prête un de ses moutons. Le nombre des motons est maintenant de 8, il est divisible par 2, 4 et 8. On donne donc 4 moutons à l'aîné, 2 au cadet et 1 au dernierenfant. Comme il reste un mouton car 4+3+1=7, on rend ce mouton à l'ami.
Remarque : Le partage est proportionnel aux trois nombres 1, 2 et 4. Les parts ne sont même pas proportionnelles à 1/8, 1/4 et 1/2 mais bien à 1/7, 2/7 et 4/7 de l'héritage. Un énoncé qui correspond à la solution consiste à dire que la part du cadet est la moitié de celle de l'aîné et que celle du benjamin est aussi la moitié de celle du cadet.
Généralisation
Calculs
Explications
On peut construire d'autres problèmes de ce type avec un nombre d'enfants différent de trois et un nombre de moutons prêtés différent de un.
Inscrivez dans les cases ci-dessus les nombres d'enfants, de moutons prêtés et l'héritage mamimum. Vous obtiendrez toutes les solutions jusqu'à ce maximum.
Les parts des enfants étant proportionnelles à a, b, ...c, l'équation diophantienne (équation en en nombres entiers) 1/a+1/b+...1/c = n/(n+k) donne les solutions.
Lorsque le nombre n d'enfants et celui k d'animaux prêtés sont donnés, le nombre de possibilités est fini. Ainsi pour 3 enfants et 1 animal prêté, les solutions sont au nombre de 7.
Autres exemples : 1) Deux enfants 2) Prêt de deux moutons 3) Cinq héritiers (inutile de cliquer sur [solutions])
Liens
James Joseph Sylvester (1814 1897) MacTutor History of Mathematics
Mathematics in Egyptian Papyri The Rhind papyrus
Egyptian Fractions Algorithms for Egyptian fractions
Egyptian Mathematics G. Donald Allen
(Approximation, Conflict Resolution, Based on the Binary Number System, Continued Fraction, Reverse Greedy, Brute Force, Small Numerators) Methods. - David Eppstein, ICS, UC Irvine
Egyptian fractions Index entries for sequences related to Egyptian fractions at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Eric W. Weisstein From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
"Egyptian Number" http://mathworld.wolfram.com/EgyptianNumber.html
" Rhind Papyrus" http://mathworld.wolfram.com/RhindPapyrus.html
Fractions Égyptiennes Projet maths en jeans. Camille Laurent-Gengoux Université de Poitiers
Numération égyptienne
Encyclopédie Thotweb Renaud de Spens. Apprendre les hiéroglyphes est maintenant à la portée de tous.
Problem 35. More wrong turns... Problems & Puzzles: Problems - The prime puzzles & problems connection by Carlos Rivera.
Kevin's Math Page Egyptian Fractions Kevin L. Gong examines ways of computing fractions as the sum of unit fractions, minimizing number of terms and/or largest denominator.
On veut décomposer la fraction a/b < 1 que l'on note a(0)/b(0),
Pour k = 0, 1, ...
Soit n(k) le plus petit entier tel que
1/n(k) soit inférieur ou égal à a(k)/b(k)
on prendra à l'étape suivante a(k+1)/b(k+1) = a(k)/b(k) - 1/n(k)
c.-à-d. a(k+1) = a(k)*n(k) - b(k)
b(k+1) = b(k) * n(k);
L'algorithme débute en prenant k=0 et s'arrête lorsque a(k) est nul.
a/b = 1/n(0) + 1/n(1) + ...
Preuve (Simplifions la notation dans la preuve en omettant d'écrire la variable k) :
------
On a 1/n <= a/b < 1/(n-1) et à l'étape suivante, s'il doit y en avoir une,
a/b est remplacé par (an-b)/(bn).
Le numérateur an-b est strictement inférieur au précédent 'a' car leur différence
a - (an-b) = a-an+b est strictement positive, en effet l'inégalité stricte a/b < 1/(n-1)
donne a(n-1)<b c'est-à-dire 0< b-an+a.
aven:~/egy\> echo "5 121"|bc fef.bc 5/121= + 1/25 + 1/757 + 1/763309 + 1/873960180913 + 1/15276127956420\ 93418846225L'algorithme donne parfois des solutions curieuses, (comparer cette solution à 5/121= 1/363+1/121+1/33), les entiers obtenus sont vite impressionnants.
Le bouton [Variante] permet de décomposer les fractions
1/n autrement qu'en elles-mêmes.
1/n = 1/(n+1) + 1/(n(n+1))
Exemples : Doubles, Triples, Quadruples, Quintuples (Comparer
5/31= 1/248+1/31+1/8 à la solution obtenue).
Exemples :
Des décompositions particulières où l'on trouve deux quadruplets dont les sommes sont égales ainsi que les sommes de leurs inverses :
1/77+1/33+1/21+1/11 = 1/55+1/45+1/33+1/9 = 2/11 et 77+33+21+11 = 55+45+33+9 = 142 1/165+1/55+1/15+1/11 = 1/99+1/77+1/63+1/7 = 2/11 et 165+55+15+11 = 99+77+63+17 = 246
Plusieurs obervations semblables dans cet autre exemple.
Ce programme C permet des calculs un peu plus rapides :
optpair.c
Les nombres entiers naturels 'égyptiens' sont les sommes des dénominateurs des décompositions de 1 en sommes de fractions égyptiennes.
Ils sont dits strictement égyptiens si les fractions égyptiennes sont toutes différentes.
La suite A052428 est celle des nombres égyptiens stricts, son complément est A051882
La suite A028229 donne les entiers qui ne sont pas égyptiens.
Exemples :
1 = 1/2+1/2 mais comme 4=1+3=2+2 et qu'aucun des entiers 1/4 et 1/1+1/3 ne vaut 1, on peut dire que 4 est un nombre égyptien et qu'il n'est pas strictement égyptien.
1 = 1/231 + 1/210 + 1/15 + 1/11 + 1/3 + 1/2 donc 472 = 231 + 210 + 15 + 11 + 3 + 2 est un nombre entier égyptien strict.
Exemple montrant que 31, 24, 11 et 1 sont des nombres égyptiens stricts. Cet autre exemple en donne un peu plus.
Le nombre de fractions est 9 et les solutions sont au nombre de 5,
en voici deux :
1 = 1/231 + 1/45 + 1/35 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3 1 = 1/385 + 1/45 + 1/33 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3On indique ci-dessous comment trouver ces deux solutions et quelques autres.
en sachant que les neuf solutions contiennent en commun les six termes
1/15 1/11 1/9 1/7 1/5 1/3 on peut en déduire la somme
des trois termes restants qui est donc (cliquer) 573/10395.
Il suffit alors d'ajouter
1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3 aux trois solutions que l'on vient de calculer en cliquant pour obtenir trois décompositions de 1 en une somme de neuf fractions égyptiennes de dénominateurs impairs.
Pour obtenir d'autres solutions on peut tenter d'augmenter le dénominateur maximum. On peut aussi choisir de décomposer 26/3465 complément à 1 de
1/21 + 1/15 + 1/11 + 1/9 + 1/7 + 1/5 + 1/3.
Selon sa volonté, la moitié des animaux doit aller à l'aîné, le quart au cadet et le huitième au benjamin.
Comment réaliser ce partage ?
7/8= 1/8+1/4+1/2 = 1/8 + 2/8 + 4/8, un ami de la famille trouve une solution, il prête un de ses moutons. Le nombre des motons est maintenant de 8, il est divisible par 2, 4 et 8. On donne donc 4 moutons à l'aîné, 2 au cadet et 1 au dernierenfant. Comme il reste un mouton car 4+3+1=7, on rend ce mouton à l'ami.
Remarque : Le partage est proportionnel aux trois nombres 1, 2 et 4. Les parts ne sont même pas proportionnelles à 1/8, 1/4 et 1/2 mais bien à 1/7, 2/7 et 4/7 de l'héritage. Un énoncé qui correspond à la solution consiste à dire que la part du cadet est la moitié de celle de l'aîné et que celle du benjamin est aussi la moitié de celle du cadet.
Inscrivez dans les cases ci-dessus les nombres d'enfants, de moutons prêtés et l'héritage mamimum. Vous obtiendrez toutes les solutions jusqu'à ce maximum.
Les parts des enfants étant proportionnelles à
a, b, ...c, l'équation diophantienne (équation en en nombres entiers) 1/a+1/b+...1/c = n/(n+k) donne les solutions.
Lorsque le nombre n d'enfants et celui k d'animaux prêtés sont donnés, le nombre de possibilités est fini. Ainsi pour 3 enfants et 1 animal prêté, les solutions sont au nombre de 7.
Autres exemples : 1) Deux enfants 2) Prêt de deux moutons 3) Cinq héritiers (inutile de cliquer sur [solutions])
James Joseph Sylvester (1814 1897) MacTutor History of Mathematics
Mathematics in Egyptian Papyri The Rhind papyrus
Egyptian Fractions Algorithms for Egyptian fractions
Egyptian Mathematics G. Donald Allen
(Approximation, Conflict Resolution, Based on the Binary Number System, Continued Fraction, Reverse Greedy, Brute Force, Small Numerators) Methods. - David Eppstein, ICS, UC Irvine
Egyptian fractions Index entries for sequences related to Egyptian fractions at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Eric W. Weisstein From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
"Egyptian Number" http://mathworld.wolfram.com/EgyptianNumber.html
" Rhind Papyrus" http://mathworld.wolfram.com/RhindPapyrus.html
Fractions Égyptiennes Projet maths en jeans. Camille Laurent-Gengoux Université de Poitiers
Numération égyptienne
Encyclopédie Thotweb Renaud de Spens. Apprendre les hiéroglyphes est maintenant à la portée de tous.
Problem 35. More wrong turns... Problems & Puzzles: Problems - The prime puzzles & problems connection by Carlos Rivera.
Kevin's Math Page Egyptian Fractions Kevin L. Gong examines ways of computing fractions as the sum of unit fractions, minimizing number of terms and/or largest denominator.
Pour un premier contact, [utilisez ce formulaire] ou utilisez l'adresse de messagerie qui y figure. Merci d'indiquer la page précise du site "http//jm.davalan.org/...", cela m'aidera beaucoup. Ne joignez aucun document à votre message.
Jeux-et-Mathématiques n'est pas un site commercial. Aucun des liens placés sur ce site n'est rémunéré, ni non plus aucune des informations données.
Important : Si votre question a un quelconque rapport avec un travail personnel (Devoir TIPE Master...) , vous devez absolument me le préciser dès votre premier message et m'indiquer très précisément les limites des informations demandées. Vous devez aussi avertir la personne qui dirige éventuellement votre travail ou le corrige de cette communication et lui montrer les documents fournis.
© (Copyright) Jean-Paul Davalan 2002-2014Important : Si votre question a un quelconque rapport avec un travail personnel (Devoir TIPE Master...) , vous devez absolument me le préciser dès votre premier message et m'indiquer très précisément les limites des informations demandées. Vous devez aussi avertir la personne qui dirige éventuellement votre travail ou le corrige de cette communication et lui montrer les documents fournis.
J'essaie de répondre aux questions posées, mais ne lis pas les documents mathématiques amateurs, pas plus que je ne donne mon avis sur les démonstrations des conjectures de Collatz ou autres. Je ne lis pas les documents word, je ne corrige pas les programmes informatiques et depuis des années je n'utilise plus de tableur.