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Suites de Douglas Hofstadter
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Une suite chaotique
La première de ces suites est extraite du livre 'Gödel Escher Bach' de Douglas Hofstadter (pages 154-155 de la version française).
C'est la suite
A005185 de
N.J.A. Sloane, appelée "The Hofstadter Q-sequence".
Un peu à la manière des suites de Fibonacci et de Lucas, chaque terme est la somme de deux termes précédents, mais pas les deux termes immédiatement précédents :
(La définition de la suite de Fibonacci est plus simple : F(n) = F(n-1) + F(n-2)).
Page avec l'applet java de la suite Q
Exemple : calcul de Q(18)
Dans le calcul de Q(n)=Q(n-Q(n-1))+Q(n-Q(n-2)), les deux termes Q(n-1) et Q(n-2), donnent deux décalages à partir de n permettant de trouver les indices n-Q(n-1) et n-Q(n-2) des deux termes à ajouter.
Les premiers termes Q(n) sont Q(1)=1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, Q(8)=5, Q(9)=6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, Q(16)=9, Q(17)=10, Q(18)= ...
Pour calculer Q(18), on observe que les deux éléments précédents sont Q(17)=10 et Q(16)=9.
Au lieu d'ajouter ces deux nombres, comme on l'aurait fait pour une suite de Fibonacci, on se décale de 10 et de 9 crans à partir du rang 18, c.-à-d. en 18-10=8 et en 18-9=9, les deux valeurs à ajouter sont Q(8)=5 et Q(9)=6, d'où Q(18)=5+6=11.
La suite obtenue est bizarre, elle a un comportement modérément erratique, peut-être chaotique, mais ce n'est pas certain, les graphiques laissent penser à une certaine forme de régularité.
Un peu à la manière des suites de Fibonacci et de Lucas, chaque terme est la somme de deux termes précédents, mais pas les deux termes immédiatement précédents :
| Q(1) = Q(2) = 1 et pour n > 2, Q(n) = Q(n-Q(n-1)) + Q(n-Q(n-2)) |
(La définition de la suite de Fibonacci est plus simple : F(n) = F(n-1) + F(n-2)).
| Suite Q de Hofstadter |
|
| Termes d'indices 1 à 200 000 (ou 3 500) de la suite Q |
Page avec l'applet java de la suite Q
Exemple : calcul de Q(18)
Dans le calcul de Q(n)=Q(n-Q(n-1))+Q(n-Q(n-2)), les deux termes Q(n-1) et Q(n-2), donnent deux décalages à partir de n permettant de trouver les indices n-Q(n-1) et n-Q(n-2) des deux termes à ajouter.
Les premiers termes Q(n) sont Q(1)=1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, Q(8)=5, Q(9)=6, 6, 6, 8, 8, 8, 10, Q(16)=9, Q(17)=10, Q(18)= ...
Pour calculer Q(18), on observe que les deux éléments précédents sont Q(17)=10 et Q(16)=9.
Au lieu d'ajouter ces deux nombres, comme on l'aurait fait pour une suite de Fibonacci, on se décale de 10 et de 9 crans à partir du rang 18, c.-à-d. en 18-10=8 et en 18-9=9, les deux valeurs à ajouter sont Q(8)=5 et Q(9)=6, d'où Q(18)=5+6=11.
La suite obtenue est bizarre, elle a un comportement modérément erratique, peut-être chaotique, mais ce n'est pas certain, les graphiques laissent penser à une certaine forme de régularité.
Une famille de suites du même type
Ces suites peuvent avoir des comportements similaires ou non.
Sélectionnez celle dont vous voulez calculer des termes.
Références, ressources, liens
Hofstadter-type sequences On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Hofstadter's Q-Sequence Eric Weisstein's world of Mathematics
La fonction G de Hofstadter Daniel Krob (Programmes Maple pour illustrer une propriété de G)
Acoustic illusions Endlessly rising melodies: The Shepard effect. It was Douglas Hofstadter's ("Godel, Escher, Bach") idea to apply the shepard effect to Bach's canon.
La suite de Douglas Hofstadter : un paradigme de raisonnement non uniforme. N. Lygeros
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