Volumes, aires et autres calculs sur des solides
Sphère, cylindre, cône et tronc de cône
Mode d'emploi
Entrez un minimum de données, par exemple
le rayon R=30 et la latitude L=45°
pour la calotte sphérique,
le rayon r=10 et la hauteur h=30
pour le cylindre et le cône, le programme calculera tout ce qu"il peut déduire de ces données.
Aucune vérification n'est faite sur la cohérence des données et les calculs effectués peuvent ne correspondre à rien de réel si aucune vérification n'est faite, ni avant, ni après les calculs.
Quelques exemples correspondant à des situations impossibles :
En entrant 2 pour le rayon et 3 pour le diamètre correspondant, rien ne permet de savoir si les calculs utiliseront un rayon de 2 ou de 1,5, évitez donc d'entrer des données incompatibles.
Pour le cône, un périmètre de base égal à P = 63 et R = 9 sont incompatibles car le rayon de base est r = 10, supérieur à 9.
Lorsque vous n'êtes pas certain de la compatibilité des données, entrez seulement une donnée, puis une seconde, une troisième ...
Regardez les résultats obtenus, recommencez éventuellement les calculs avec certains des résultats pour vérifier que vous retrouvez bien les données initiales.
Aucune vérification n'est faite sur la cohérence des données et les calculs effectués peuvent ne correspondre à rien de réel si aucune vérification n'est faite, ni avant, ni après les calculs.
Quelques exemples correspondant à des situations impossibles :
En entrant 2 pour le rayon et 3 pour le diamètre correspondant, rien ne permet de savoir si les calculs utiliseront un rayon de 2 ou de 1,5, évitez donc d'entrer des données incompatibles.
Pour le cône, un périmètre de base égal à P = 63 et R = 9 sont incompatibles car le rayon de base est r = 10, supérieur à 9.
Lorsque vous n'êtes pas certain de la compatibilité des données, entrez seulement une donnée, puis une seconde, une troisième ...
Regardez les résultats obtenus, recommencez éventuellement les calculs avec certains des résultats pour vérifier que vous retrouvez bien les données initiales.
Solides
Sphère
Schéma
La sphère a pour Rayon R, son aire est A et son volume est V.
Deux plans parallèles coupent la sphère suivant deux cercles. Le premier, l'équateur a pour centre O, le second de centre H est un
La distance entre les plans de l'équateur et du parallèle est h.
La partie de la sphère comprise entre ces deux plans a pour aire As et pour volume Vs.
La calotte, de hauteur f a pour aire Ac et pour volume Vc.
Les aires As et Ac sont celles des parties sphériques. Les disques plans ont pour aires Ad et a.
c est la longueur d'une corde (de grand cercle) entre deux points de l'équateur et du parallèle.
Attention : Toutes les données doivent être des nombres positifs. De plus la latitude doit être inférieure ou égale à 90. Le parallèle doit être inférieur à l'équateur ... Quelques vérifications sont effectuées, mais pas toutes.
Deux plans parallèles coupent la sphère suivant deux cercles. Le premier, l'équateur a pour centre O, le second de centre H est un
parallèle, son rayon est r.
La distance entre les plans de l'équateur et du parallèle est h.
La partie de la sphère comprise entre ces deux plans a pour aire As et pour volume Vs.
La calotte, de hauteur f a pour aire Ac et pour volume Vc.
Les aires As et Ac sont celles des parties sphériques. Les disques plans ont pour aires Ad et a.
c est la longueur d'une corde (de grand cercle) entre deux points de l'équateur et du parallèle.
Attention : Toutes les données doivent être des nombres positifs. De plus la latitude doit être inférieure ou égale à 90. Le parallèle doit être inférieur à l'équateur ... Quelques vérifications sont effectuées, mais pas toutes.
Exemples
1
2
3
4
littéral
[Calcule]
Calculs de la sphère
Cylindre droit
Schéma et variables
Le cylindre droit a pour base un disque de rayon
La hauteur du cylindre est
Le patron du cylindre se compose
d'une part d'un rectangle de côtés de longueurs
d'autre part de deux disques identiques de mêmes rayons
L'aire totale
r, de diamètre d, de circonférence P et d'aire B qui est l'aire de base du cylindre.
La hauteur du cylindre est
h, son volume est V.
Le patron du cylindre se compose
d'une part d'un rectangle de côtés de longueurs h et P, l'aire de ce rectangle est l'aire latérale L du cylindre
d'autre part de deux disques identiques de mêmes rayons r et de mêmes aires B.
L'aire totale
A du cylindre est la somme de l'aire latérale L et des deux aires de base B.
Exemples
1
2
3
4
littéral
[Calcule]
Calculs du cylindre
Cône
Schéma
Le patron du cône est composé du disque de base de rayon
L'aire de la base est
L'aire latérale est
L'angle
La hauteur du cône est
Le volume du cône est
r et d"u secteur circulaire dont le rayon R est la longueur du segment SA de la génératrice.
L'aire de la base est
B = Pi r2.
L'aire latérale est
L = Pi R^2 x/360 lorsque l'angle x est donné en degrés
L'angle
x de ce secteur est tel que l'arc AA' a même longueur que la circonférence de la base.
La hauteur du cône est
h = SH. r, h et R sont liés par la relation de Pythahore R2 = r2 + h2 dans le triangle rectangle HSA
Le volume du cône est
V = B h/3.
Exemples
1
2
3
4
littéral
[Calcule]
Calculs du cône
Tronc de cône
Schéma
Les deux bases du tronc de cône sont parallèles, elles (et ont pour aires B1 et B2) sont les bases de deux cônes de même sommet S, de même axe (SO2)
le plus petit, de hauteur
le plus grand, de hauteur
Le tronc de cône a pour hauteur
Le théorème de Thalès nous donne
On a aussi
Le théorème de Pythagore donne
L'angle
le plus petit, de hauteur
h1, de rayon de base r1, d'aire de base B1, d'aire latérale L1 et de volume V1,
le plus grand, de hauteur
h2, de rayon de base r2, d'aire de base B2, d'aire latérale L1 et de volume V2.
Le tronc de cône a pour hauteur
h = h2 - h1, pour aire des deux bases, B = B2 + B1, pour aire latérale L = L2 - L1 et pour volume V = V2 - V1.
Le théorème de Thalès nous donne
R2/h2 = R1/h1 = (R2-R1)/h.
On a aussi
R2/R1 = h2/h1 = r2/r1
Le théorème de Pythagore donne
R22 = h22 + r22 et R12 = h12 + r12.
L'angle
u de l'axe et d'une directrice permet aussi d'écrire des rapports trigonométriques dans des triangles rectangles : tan u = r1/h1
Exemples
1
2
3
4
littéral
[Calcule]
Calculs du tronc de cône
